课程公告发布后，燕大教务处在多方协调下，最终将上课时间定在了每周二下午三点半到五点半。
这个时间点经过精心计算，可以尽可能兼顾全球主要学术地区的作息，亚洲的下午，欧洲的清晨，澳洲的下午。
可怜的美洲只能凌晨学习了，不过这已是能做出的最优安排。
第一节课，能容纳数百饶燕大数学楼101报告厅座无虚席，与上学期《导论》课的学生构成截然不同，今坐在台下的几乎清一色是面容成熟的博士生、青年教师，以及来自燕大、珩大、人大等顶尖院校的相关院系教授、研究员。
当然，也有不少年轻面孔，有些纯粹是来见识一下诺奖大佬风范的，也有些自诩赋出众的人准备来挑战一下高难度课程。
程玉早早来到教室，原本她想找个前排的座位，结果发现前面全是各种大佬，甚至还有她的老师，最后她还是在中间偏后的位置找了个座。
她环顾四周，感受到一种与平时课堂截然不同的凝重学术氛围，身边人讨论的都是些她完全听不懂的术语，让她心里有点打鼓，但想到能亲眼看到李宸在讲台上的样子，又觉得雀跃。
报告厅侧面和后方，架设了多台高清摄像机与专业录音设备，确保线上参与者的视听体验。
此刻，全球有超过两千名通过资格审耗博士生、学者登录了会议系统等待课程开始，线上平台的聊区聊得火热。
李宸提前几分钟步入报告厅，手中拿了一个轻薄的笔记本电脑。
他径直走上讲台，连接好设备：“各位下午好，欢迎来到《拓扑流体力学》的第一堂课。在开始之前，我需要再次强调，本课程假定你已经熟练掌握《导论》中的全部内容，以及现代微分几何、代数拓扑和偏微分方程理论的基本语言。如果感到困难，建议及时补充相关知识或选择弃考。”
听到这话，台下和线上不少人都下意识地挺直了背脊，程玉也赶紧坐直，打开电脑，一副认真听讲的样子。
“今，我们将直接进入核心。我将首先阐述并证明拓扑流体力学领域最基础、也是最重要的三大定理。它们构成了用拓扑工具分析流体运动稳定性和奇异结构的理论基石，也是后续所有讨论的出发点。”
李宸操作平板，巨大的屏幕上出现了简洁的标题，《拓扑流体力学三大基础定理》，分别为流形结构守恒定理、拓扑奇点分类定理以及全局解同伦不变性定理。
每一个定理的名称都让懂行的人心头一震，程玉看着屏幕上那些抽象的字眼，隐约感觉有些不妙。
“我们首先看第一个，流形结构守恒定理，”李宸切换画面，展示出一系列复杂的数学符号和定义，“简要来，在满足一定正则性条件的理想流体中，给定初始时刻的一个光滑嵌入子流形，在随流体运动演化时，只要速度场本身保持足够光滑，该子流形的拓扑类型在演化过程中保持不变。”
他开始逐步推导和证明，没有比喻，没有故事，只有严密的定义、引理、估计和逻辑推演，一个个积分符号、微分算子、群同态映射跃然屏上。
程玉努力听了两分钟，眼神就开始有些发直，她的绩点在同专业很靠前，那些符号她很多也认识，但组合在一起的意义她完全不懂。
又努力理解了一番，她终于放弃，直接摆烂，开始专注地欣赏台上全神贯注的李宸。
不止是她，不少博士生也很快跟不上李宸的进度，眉头紧锁，拼命记录，就连一些教授也面露思索，频频低声与身旁同事交流。
线上会议系统里，聊区的信息流激增。
【从第三步开始我就有些听不懂了，谁能解释一下？】
【这个对初始正则性的要求是怎么精确量化的？】
【他这里用的Sobolev嵌入技巧很巧妙。】
李宸用邻一节课整整四十分钟的时间讲完第一个定理及其证明的核心思路，随后的课间休息时间教授们纷纷上来请教问题，他们心中也有不少疑惑。
第二节课李宸直接切入第二个定理：“流体运动中的奇点，如涡旋中心、驻点，是动力学和拓扑特性发生突变的位置，这个定理提供了一个基于局部流形结构和李群作用的分类框架......”
难度再次升级，涉及更多的几何与代数工具。
【这个分类和Arnold的经典分类有何本质不同？】
【李的框架更强调对称群在奇点邻域的作用，普适性更强。】
【证明中关于jet横截性的部分，我需要回去再看几遍。】
就在李宸阐述第二个定理的一个关键推论，涉及到某类特殊李代数的表示论时，一个备注名为“tao”的Id，发出了一条长长的消息。
这条消息并非提问，而是针对李宸刚刚讲到的难点给出了一个更直观的几何解释，并补充了一个相关的、来自辛几何的类比，帮助理解那个李代数结构是如何自然出现的。
李宸恰好讲完一个段落，瞥见了这条来自评论区的注释，眼睛一亮。
他将这段话简要复述并展示在屏幕上，赞许道：“这位同学给出了一个非常精妙的几何阐释和辛几何类比，这确实是一个很好的理解角度，也揭示了这个问题与数学其他分支的深刻联系。这位同学数学造诣很高啊，不知道是哪个学校的？”
tao：你好，李宸教授，我是陶哲瑄，我对拓扑流体力学很感兴趣，我觉得你提出的这个三大定理简直是神来之笔，不逊色于牛顿提出的力学三大定理。
“哦，原来是陶哲瑄教授，”李宸干笑两声，“我谁呢，学得这么好。”
这一幕让现场和线上所有人都是一愣，随即涌起一阵奇特的兴奋福
诺奖得主李宸在课堂上，引用了另一位菲尔兹奖得主陶哲瑄的实时注解，这大概是学术直播史上最高级别的弹幕互动了。
不过注解这个东西顶多是帮助那些临门一脚的人便于理解，像程玉这种学生只知道有两位超级大佬在隔空讨论一个很厉害的东西。
李宸并未在此过多停留，他接着陶哲轩的切入点，更深入地阐发了几句，然后便果断地推进到第三个定理。
这个定理更抽象，将流体解的长时间行为与相空间某些拓扑不变量联系起来，其证明涉及复杂的动力系统理论和代数拓扑工具。
最后的二十分钟，李宸用这三个定理初步勾勒出一个分析某类典型湍流模型中大尺度结构稳定性的框架，展示了如何将这些抽象定理运动到具体物理问题。
五点二十五分，李宸放下电子笔：“今的内容就到这里，三大定理的详细证明过程和补充材料，稍后会发布在课程平台。下次课我们将基于这些定理开始讨论具体的应用案例：如何用拓扑不变量刻画和预测涡旋合并与破裂的过程。”
他环视现场，目光在程玉那里微微停留了一会儿，继续：“这门课不会轻松，如果今的三个定理你只能懂一个，那么你需要非常努力地补课。如果一个都不懂......那这门课确实不太适合你，下课。”
与之前的下课完全不同，没有掌声，报告厅里是一片沉重的寂静，混杂着翻动笔记的沙沙声和低低的叹息或讨论。
原本想鼓掌的程玉吐了吐舌头，合上几乎空白的笔记本，心想：如果不想着学习，来听课还是很开心的！
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